コマネタ帳(旧) by iyoupapa

PCや土いじりやゲームやオモチャ、思いつくまま細切れネタを書き散らかす日記

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「ルートの無限入れ子クイズ」の回答を考える

ルートの無限入れ子クイズ」の回答を考えてみました。会社で考えていたら怖い顔をしていたのか、「仕事で問題でも?」と聞かれちゃいました。錆付いた頭では難しいです。

無限から一瞬で求める?

まずはミルカさんの一言から考えます。

ミルカさん「先生、この数式の値が《ある正の値に収束する》ことは仮定してもいいんですか?」

\begin{align*}
a = \sqrt[]{\mathstrut 2\  \sqrt[]{\mathstrut 2 \ \sqrt[]{\mathstrut 2 \  \cdots}}}
\end{align*}
...(1)

(1)式の2乗を考えると

\begin{align*}
a^2 = 2\ \sqrt[]{\mathstrut 2\  \sqrt[]{\mathstrut 2 \ \sqrt[]{\mathstrut 2 \  \cdots}}}
\end{align*}
...(2)

(1)式のルートと(2)式のルートは同形なので、同値になるはずです。aは非0と仮定しているから、(2)/(1)を求めることができるはずです。

\begin{align*}
\frac{a^2}{a} = \frac{2\ \sqrt[]{\mathstrut 2\  \sqrt[]{\mathstrut 2 \ \sqrt[]{\mathstrut 2 \  \cdots}}}}{\sqrt[]{\mathstrut 2\  \sqrt[]{\mathstrut 2 \ \sqrt[]{\mathstrut 2 \  \cdots}}}}
\end{align*}

で a = 2 になります。

基本に戻ってみる

しかし、どうも錆びた頭で考えても正しい保証がないので、基本に戻ってみます。まずは平方根を分離します。

\begin{align*}
a = \sqrt[]{\mathstrut 2} \  \sqrt[]{\mathstrut \sqrt[]{\mathstrut 2}} \  \sqrt[]{\mathstrut \sqrt[]{\mathstrut \sqrt[]{\mathstrut 2}}} \cdots
\end{align*}

ルートだと分かりにくいのでべき乗に変換します。

\begin{align*}
a = 2^{\frac{1}{2}}\ 2^{\frac{1}{4}}\ 2^{\frac{1}{8}} \cdots
\end{align*}

乗算ですからべき数の和にまとめて

\begin{align*}
a = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \cdots}
\end{align*}

ここまできたら、

\begin{align*}
\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots
\end{align*}
の計算問題です。部分和Snを考えると

\begin{align*}
S_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n}
\end{align*}
...(3)

\begin{align*}
\frac{1}{2}S_n = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{2^n} + \frac{1}{2^{n+1}}
\end{align*}
...(4)

(3)式-(4)式から

\begin{align*}
\frac{1}{2}S_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{n+1}}
\end{align*}

\begin{align*}
S_n = 1 - \frac{1}{2^n}
\end{align*}

ここでn→∞とすると1になります。よって

\begin{align*}
2^1 = 2
\end{align*}

から答えは2になります。

数学の回答は難しい

久々に数学パズルをやっていたら、パソコンに向かうより紙に数式を書くほうがはるかに効率的なことを再確認しました。ノート1ページで10分で解けたのが嬉しかったです。さて、まだ結城さんの回答公開まで時間がありますから、このエントリで応募してみましょうか。

結城さんの回答公開されました(2007/6/19追記)

ルートの無限入れ子クイズ(解答編)」が公開されました。この微妙な回答もリンクされています。まぁ、考え方は概ね合っていると自分を慰めています。「数学ガール」を読んでさび落とししなきゃね>俺。

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